Conceptul de infinit, unul dintre cele mai vechi și profunde din istoria ideilor, a fost înțeles de la început ca o limită superioară, imposibil de atins practic, dar idealizată. La infinit ajungi cînd enumeri, cînd mărești o cantitate sau parcurgi o distanță fără să te mai oprești, căci orice pas final este o contradicție a in-finitului.

Multe studii moderne de neuroștiințe și psihologie a educației arată că așa se și înțelege cel mai bine ideea abstractă de infinit: prin metoda inducției, cum se numește în matematică. Începi cu o cantitate mică, la care tot adaugi și, în același timp, te asiguri că la orice pas, mai e loc de încă unul. Existența pasului următor este tocmai esența infinitului, ca rezultat-limită al procedeului de inducție.

Unde se termină finitul depinde de civilizație. De exemplu, dintr-o carte a matematicianului John D. Barrow (pe care am recomandat-o aici), aflăm că indienii Botocudo, un trib sud-american, trec foarte repede la „nenumărat” (practic, infinit), fiindcă nu au avut nevoie în limbaj și aplicații de numere mai mari decît totalul degetelor. În Grecia antică, rar găsești calcule aritmetice cu numere mai mari de ordinul sutelor. Pitagoreicii erau faimoși pentru venerarea numerelor 1, 2, 3, 4 și a sumei lor, 10, iar unul dintre părinții aritmeticii, Diofant din Alexandria, a scris despre ecuații cu soluții de ordinul unei vîrste de om.

Lucrurile se schimbă complet, însă, dacă citești din filosofia (și matematica) indiană a antichității. Multe cărți sfinte și scrieri ale înțelepților conțin mențiuni explicite de numere la nivelul milioanelor sau miliardelor. Aceste numere nu doar că sînt numite, dar este deosebit de remarcabil faptul că poporul indian operează cu astfel de cantități.

Lumea indiană este foarte diversă și surprinzătoare în relația cu numerele foarte mari și, prin extensie, cu infinitul. Bogăția culturală, filosofică și religioasă din India face ca unele credințe sau precepte pe care ți le prezint să fie specifice doar unor grupuri culturale sau religioase. Dar nu-mi propun o analiză amănunțită, ci în primul rînd o paralelă cu înțelepciunea Occidentului din ultimele secole dinaintea erei noastre și de după.

O metaforă din cultura indiană, care leagă înțelepciunea și cunoașterea de matematică este a păunului. Una dintre primele cărți de astrologie, Vedang Jyotish, datată în jurul anului 1200 î.e.n., conține o prezentare aparte a matematicii. Lucrarea scrie că așa cum este creasta unui păun, la fel stă și matematica deasupra disciplinelor de învățămînt. Deși poate nu este principalul punct de atracție la care te-ai gîndi (coada păunului impresionează mult mai mult la prima vedere), creasta are o frumusețe subtilă, concentrată. De aici s-a inspirat și istoricul George G. Joseph în titlul cărții sale despre istoria matematicii indiene (vezi Bibliografia).

Diversitatea divină și umană a infinitului

În mai toate culturile lumii, infinitul a fost cel mai ușor asociat cu Universul și cu Divinitatea. Și în cazul indienilor, una dintre cele mai vechi apariții ale infinitului se găsește în Mahābhārata, o colecție de scrieri care acoperă o perioadă aproximativă între secolul al treilea î.e.n. și secolul al patrulea e.n. Într-un imn închinat zeului Vishnu, intitulat Vishnu Sahasranama, se vorbește despre cele o mie de nume ale acestuia, printre care și Ananta, care înseamnă „fără sfîrșit”, „fără limită”.

Dar Ananta este doar una dintre nuanțele infinitului pe care le găsești la indieni. În cărțile sfinte, apar patru categorii ale ființei, trei dintre ele cu referire directă la infinit. Ananta arată o existență cu început, dar fără sfîrșit (în unele concepții cosmogonice găsești momentul apariției lui Vishnu în lume). Apoi, Nitya este categoria celor fără început și fără sfîrșit, Anitya sînt cele cu început și sfîrșit, iar Anadi nu au început, dar au sfîrșit.

Remarcabilă este percepția infinitului și la una dintre cele mai importante religii și filosofii ale Indiei, jainismul. Istoricii și scripturile leagă înființarea acestei religii de Mahavira, care a trăit în secolul al șaselea înaintea erei noastre și a fost contemporan cu Buddha (Siddhartha Gautama).

În cărțile Jaina, atributele sufletului uman sînt legate de infinit:

• Ananta-gyana sau cunoașterea nelimitată;
• Ananta-darshana, adică percepția nelimitată, prin simțuri;
• Ananta-caritra, sau conștiința nelimitată, care ne leagă de toate formele de existență;
• Ananta-sukha sau liniștea infinită.

Din perspectivă europeană, spiritualitatea jainistă și cea hindusă au în centrul lor o credință atomistă. De exemplu, Tattvārthasūtra, o carte de comentarii ale scripturilor jainiste, compilată între secolele II și V de un călugăr (sau Acharya) pe nume Umaswami, caracterizează sufletele prin părți, o cantitate nenumărată de „unități ale sufletului”. La fel, spațiul conține o infinitate de „unități ale spațiului”, iar o porțiune de materie, oricît de mică, poate să conțină un număr finit, infinit sau nenumărat de „unități de materie” (pe care le-am numi atomi).

Aritmetica universului Jaina

În afară de preceptele de pînă acum, care nu surprind foarte mult cînd le compari cu spiritualitatea occidentală, religia Jaina conține multe specificații numerice exacte. După cunoștințele mele, acestea sînt unice în istoria ideilor filosofice și religioase și impresionează prin exactitate. Iar în context istoric, probabil în primele secole ale erei noastre, devin și mai spectaculoase.

Jainiștii împărțeau numerele în trei categorii: enumerabile, nenumărate și infinite. Distincțiile dintre ele nu sînt explicate clar, dar ne putem închipui că numerele enumerabile erau cele pe care le puteai întîlni în situații concrete, iar cele nenumărate se legau de proporții cosmice sau divine. Pe cele infinite le împărțeau mai departe în cinci categorii: infinite într-una dintre direcții (similară categoriei Ananta, cu început, dar fără sfîrșit), infinită în ambele direcții (precum Nitya), infinitul în arie sau întindere spațială, infinitul „peste tot”, legat și el de spațialitate și infinitul perpetuu, legat de temporal.

În ce privește numerele finite, iată cîteva specificații precise. Ciclul vieții conține multe renașteri, care de obicei se întind pe mai multe secole. Dar scripturile sînt exacte: numărul obișnuit de renașteri este de 8.400.000, cu excepția celor luminați (Jina), care ajung să atingă eliberarea (mokṣa) mai repede. Unul dintre părinții spirituali ai acestei religii, Jina Mahavira, se spune că ar fi avut doar 27 de renașteri pînă la înălțare.

Tot în scripturile Jaina găsești o unitate de măsură a timpului, numită shirsa prahelika. Pe baza unor calcule astronomice, dar și spirituale, i se atribuie o valoare exactă, incredibil de mare și de precisă:

1 shirsa prahelika = 756 × 10¹¹ × (8.400.000)²⁸ zile.

O subdiviziune a ei este purvis, egală cu 756 × 10¹¹ zile, așa că 1 shirsa prahelika înseamnă (8.400.000)²⁸ purvis.

Semnificația modernă a cuvîntului prahelika este de ghicitoare, adesea rimată, dar și de frumusețe și progres. Legătura istorică sugerează că unitatea aceea imensă, shirsa prahelika, ar fi putut face parte din înțelepciunea populară, eventual a celor care formulau ghicitori de tip matematic, cum o făcea Diofant din Alexandria în Europa.

Cărțile sfinte vorbesc și despre imensitatea lumii, tot cu un calcul exact. Traversarea văzutului și nevăzutului de un zeu ar lua șase luni, dacă ar călători aproximativ 12.000 kilometri de fiecare dată cînd clipește. Jainiștii sînt și aici preciși: kilometrii respectivi apar ca „o mie de yojana”, care este o unitate antică din India, Cambodgia, Thailanda și Myanmar, cu valori diferite de-a lungul istoriei, între 3,5 și 15 kilometri. În perioada din scripturi, yojana indiană corespundea, de obicei, la 12 kilometri.

Spiritualitatea lui (aproape) zero și a trilioanelor

Lucrul cu numere mari nu este singura reușită remarcabilă a matematicii indiene a antichității. Se știe, de exemplu, că Brahmagupta (sec. VII) a inventat simbolul pe care îl folosim pentru zero. Dar el a făcut mai mult decît atît, căci o dată cu zero, Brahmagupta a propus și reguli de calcul cu numere negative. În unul dintre tratatele sale, Brāhmasphuṭasiddhānta, alcătuit în anul 628, găsești capitolul Shunya Ganita (Operații cu zero), care introduce infinitul cu numele khachheda. Conform etimologiei acestui cuvînt și calculelor lui Brahmagupta, infinitul se obține prin împărțire la zero.

Ideea de legătură a celor două extreme se găsește și în unele cărți sfinte. G. S. Pandey (vezi Bibliografia) menționează textul antic Katha Upanișad, compus în secolele V-I î.e.n., unde apare ideea metaforică de reducere la zero a dorințelor din sufletul unui om, lucru care l-ar face nemuritor, deci divin, adică infinit.

La fel cum jainiștii scriau despre cantități foarte mari fără să le numească „infinit”, înțeleptul Bhāskara al doilea (cca. 1114-1185), care a fost matematician, astronom și geometru, a scris despre cantități foarte mici. El trasează subdiviziuni ale unităților de timp și definește unitatea nimesha (tradusă prin „clipită”, „cît ai clipi”) cu un calcul riguros, care îl conduce la a 972.000-a parte a unei zile. Aceasta are, la rîndul ei, subdiviziuni, pînă cînd ajunge la a 2.916.000.000-a parte a unei zile, pe care o numește truti.

Ca și în cazul jainiștilor, este incredibilă atît precizia cu care se fac aceste specificații, cît și hotărârea să nu cedeze impulsului de a numi „neglijabil” sau „aproape zero” astfel de cantități.

În Europa, milionul are origine latină (mille, care nu se știe exact cum era folosit, doar că avea un sens de „foarte mare”), iar miliardul și ceilalți multipli ai săi apar după Evul Mediu și mai ales după secolul al XVII-lea, cînd matematica era deja aproape modernă.

În zona indiană, în jurul anului 1000 î.e.n., în Yajurveda Samhita, o carte care aparține colecției Vedelor, găsești prefixe și multipli de până la 10¹², sau trilioane (în termeni moderni), sub numele de paradha. Lista este apoi extinsă de alte Vede și scripturi pînă la 10⁴²⁰, care poartă numele asamkheya, tradus prin „nenumărat”. Buddha explică acești multipli, iar acel ordin de mărime primește o descriere poetică, drept numărul de picături care cad în toate lumile timp de zece mii de ani.

Prin comparație, în Occident, multe scripturi și comentarii filosofice se concentrează, în bună măsură, pe calitativ și fenomenologic. De exemplu, într-un tratat de teologie al secolului al XIII-lea, preotul catolic John Duns Scotus a scris despre continuitatea mișcării îngerilor, cu ținta de a demonstra că traiectoria este, într-adevăr, continuă în sens matematic.

Probabil că numerele foarte mici au însemnătate simbolică în multe culturi, în primul rînd pentru faptul că sîntem născuți cu ele la îndemînă, la propriu. Ele ne-au influențat sistemele de numerație, de evidență a timpului și nu numai.

Nu știu de unde provin multe dintre numerele pe care le găsești în antichitatea indiană, dar le găsesc fascinante prin precizie, ca să nu mai vorbesc de ordin de mărime. Nu pot citi textele originale și nici nu am avut acces la resurse academice sau referințe mai credibile decît cele pe care le-am inclus mai jos, dar și acelea sînt, la rîndul lor, surse secundare (sau de grad mai mare). Sînt curios, deci, de mai multe. Dacă ai citit despre lucruri similare sau chiar complementare celor de aici, lasă-mi în comentarii detalii și recomandări.

Am convingerea că înțelegerea matematicii și a felului în care mintea umană a creat-o țin de cunoașterea universului, nu doar a celui fizic, pe care doar o perspectivă cît mai largă, geografic, antropologic și cronologic poate să o întregească.

Bibliografie

1. George G. Joseph – The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics, 2011 (în special, capitolul 8, despre matematica indiană a antichității);
2. G. S. Pandey – The Vedic Concept of Infinity and Infinitesimal System, capitol în History of the Mathematical Sciences, ed. Ivor Grattan-Guinness, 2004;
3. Ian G. Pearce – Indian Mathematics – Redressing the balance, §Jainism disponibilă online aici.

Mulțumesc pentru lectură! Postările de pe Gradient vor fi mereu disponibile gratuit. Dacă ai aflat ceva util sau ți-a plăcut ce ai citit, poți susține publicația printr-o distribuire, un abonament sau o contribuție singulară.