Să memorezi cuvinte într-o limbă străină fără a le înțelege îți dă o anume fluență — una a superficialității, a competențelor care durează cîteva zile. Matematica este și ea ca o limbă străină și tot la fel de trecătoare este învățarea ei pe dinafară.

Numerele și alte obiecte ale matematicii sînt parte a unui dicționar între abstract și fenomene, care a evoluat printr-un efort colectiv ce traversează biografii și milenii.

Etimologia poate să-ți arate istorii surprinzătoare, legături neașteptate sau povești din mijlocul creației. Sau poți realiza că nu e nicio profunzime la mijloc, ci doar o glumă.

Îți exemplific două categorii de termeni matematici: unii pentru care sensul se arată ușor și se îmbogățește pe parcurs ce cauți și mai mult, iar alții care au apărut din metafore sau pur și simplu din simțul umorului.

Algebra oaselor și numele polinomului

Multe ramuri ale matematicii se clarifică treptat, pe măsură ce curiozitatea te îndeamnă să citești și mai mult din istoria lor — chiar și cînd te limitezi la denumirile înseși.

Algebra, de exemplu, trimite la zona arabă din secolele VIII-IX. Primul mileniu a fost numit „epoca întunecată a Europei” din punctul de vedere al descoperirilor științifice sau scrierilor matematico-filosofice, perioadă în care Orientul a contribuit aproape exclusiv.

Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi a fost un matematician care a lucrat la Casa Înțelepciunii sau Marea Bibliotecă din Bagdad în anii 800, perioadă în care a scris Compendiul de calcule prin completare și echilibrare sau, în transliterarea originalului, al-Kitāb al-Mukhtaṣar fī Ḥisāb al-Jabr wal-Muqābalah. Cartea a devenit cunoscută pe scurt ca Al-Jabr sau după titlul traducerii latinești, Liber Algebrae.

Poate știai povestea lui al-Khwarizmi ca fondator al algebrei, dar ce înseamnă, mai exact, al-Jabr? La origini, e vorba de o procedură medicală prin care oasele ieșite din articulații sau fracturate se realiniază. Apoi, aplicațiile s-au generalizat, iar al-Khwarizmi îl folosește cu sensul de a „re-echilibra” termenii într-o ecuație, prin simplificări, reduceri sau rearanjări.

Compendiul lui al-Khwarizmi nu este actul de naștere a algebrei numai ca denumire, ci și ca metodologie. Aici apar pentru prima dată proceduri generale și consecvente pentru rezolvarea ecuațiilor — adică algoritmi, termen legat chiar de numele autorului.

Procedura pe care o folosești astăzi ca să rezolvi o ecuație de gradul întîi, ca 5x + 1 = 3, urmează întocmai pașii pe care i-a descris al-Khwarizmi. Treci termenii liberi în partea cealaltă e egalului cu semn schimbat, împarți la coeficient și „eliberezi necunoscuta”.

Ecuațiile algebrice precum cea simplă de mai sus corespund unor obiecte matematice cu o istorie milenară: polinoamele. Expresii precum X + 1 sau 5X² + X + 3 sînt alcătuite prin adunarea mai multor monoame, adică termeni care conțin un număr înmulțit cu o nedeterminată ridicată la o putere.

Dar etimologia vorbește despre unul sau mai multe „nume” (nomos), în sensul de cantități sau obiecte. Asta pentru că pînă în secolul al XVI-lea polinoamele nu se scriau ca mai sus, ci într-o formă prozaică, povestită, care ținea cont de legăturile practice, majoritatea de inspirație geometrică.

De exemplu, o nedeterminată la puterea întîi (ca X) era o lungime, una la puterea a doua (X²) era o arie a unui pătrat — de unde și denumirea alternativă de „X pătrat” —, la puterea a treia (X³) era un volum al unui cub (și el, citit alternativ ca „X cub”) ș.a.m.d.

Astfel că polinoamele pe care le-am scris ca exemple apăreau în scrisorile dintre matematicieni „povestite”: o lungime și încă o unitate sau cinci pătrate, împreună cu o lungime și trei unități.

François Viète (1540-1603) și René Descartes (1596-1650) au fost cei care au propus și folosit pentru prima dată forma pe care o știm astăzi, împreună cu notația consecventă a necunoscutei cu X. Despre istoria acestei litere în ecuații voi scrie cu altă ocazie, căci și ea conține o combinație de ingeniozitate și accident. Spun doar că la 1557, de exemplu, galezul Robert Recorde avea cu totul alte notații.

Dacă îți muți atenția de la obiectele matematice către contextul în care se definesc, ajungi la o altă ramură a matematicii: topologia. După unii autori, este vorba despre un domeniu foarte tînăr în istoria matematicii, cu vîrstă de aproximativ două secole. Însă după ce îi înțelegi originea, o vei găsi în studii mult mai vechi.

Etimologic, „topo-logia” reprezintă „studiul locului”, al spațiului în sensul cel mai general, al „fundalului” pe care se dezvoltă obiecte matematice. Implicit, e vorba și despre proprietățile și condițiile din aceste spații, care permit apariția unor obiecte și interzic altele.

De exemplu, manualul de clasa a XI-a începe cu „topologia dreptei reale”, unde afli despre intervale, vecinătăți sau puncte de acumulare. În loc să studiezi operații cu numere reale, te uiți la proprietățile mulțimii care le conține. Sau, dacă te preocupă spațiul curbat al Universului, topologia te invită să înțelegi noțiuni fundamentale despre curbură sau eventuale „tăieturi” pe care le-ai face în acest spațiu, în loc să studiezi planetele din el sau lumina care îl traversează.

Astfel de exemple arată de ce topologia are multe lucruri în comun cu studiile de secol XVII ale lui Gottfried W. Leibniz, pe care le-a numit analysis situs — analiza locului. La secole distanță, Henri Poincaré își numește tratatul de topologie chiar Analysis Situs. El introduce metodele moderne folosite pînă astăzi, dar încă din titlu trasează o legătură care trimite departe în trecut.

Fascicule, matrice și alte trivialități

Dacă îți spun că un obiect matematic este moale, ce înțelegi? Și nu orice obiect, ci un fascicul. Teoria fasciculelor este o ramură modernă a matematicii și foarte tehnică, în strînsă legătură cu topologia. Simplificat, studiază mai multe tipuri de proprietăți ale unui spațiu, pe care le poți gîndi ca pe straturi — similar unui fascicul sau mănunchi. În engleză i se spune sheaf, iar în franceză, unde a și apărut, faisceau. Toți termenii trimit la aceeași imagine: a unui „buchet”, o grămadă cumva ordonată, stratificată. Dar intuiția se oprește aici.

Oricît ai căuta, îți trebuie o imaginație și un umor aparte să vezi cum un fascicul poate să fie moale. Mai exact, cum moliciunea poate fi o proprietate matematică. Și nu e tot: matematicianul Alexander Grothendieck, unul dintre cei mai importanți cercetători ai secolului trecut, împreună cu colaboratori ca Pierre Deligne și Jean-Pierre Serre, au definit fascicule moi, flasce și perverse, fiecare cu propria definiție riguroasă și aplicații ample, care cu greu pot fi înțelese în afara unui curs de matematică avansată.

Nu ai de ce să cauți denumirile în etimologie, însă, ci doar în spiritul de glumă al lui Grothendieck și al colaboratorilor săi. Poți forța o metaforă vag intuitivă la început, dar pînă la urmă trebuie să accepți că nu e nimic profund aici — e doar o glumă.

Umorul se îmbină cu metafora într-un termen foarte popular din mai multe domenii, nu doar în matematică: matrice. Etimologia latină (matrix) înseamnă femelă sau femeie gestantă, gravidă, dar științele vorbesc despre tablouri de numere, organizate pe linii și coloane, iar ingineria, despre matrițe — forme în care se toarnă plastic sau metal topit pentru a obține piese diverse.

Matrițele și femelele gestante au, totuși, ceva în comun cu matricele din matematică: produc mai multe obiecte sau ființe asemănătoare sau identice cu sine. Istoric vorbind, așa a apărut pentru prima dată termenul, la James Joseph Sylvester, care, în 1850 scrie despre obiecte dreptunghiulare, care nu se folosesc doar ca atare, ci și ca „matrice” (Matrix, termenul său, cu majusculă) din care se formează alte obiecte mai mici.

Tehnic vorbind, Sylvester s-a referit la determinanți. Legătura între matrice și determinanți nu e relevantă aici. Oricărei matrice de formă pătrată (cu același număr de linii și coloane) i se asociază un determinant, care este un număr calculat după o regulă. Pe scurt, determinantul transformă un tablou de numere într-un singur număr, reprezentativ.

Împotriva metodei didactice din zilele noastre, istoria matematicii a introdus mai întîi determinanții și apoi matricele. Asta pentru că utilizările determinanților au fost legate de metode computaționale, rezolvarea sistemelor de ecuații, lucru care le explică și numele. Un sistem poate fi supra-, sub- sau ne-determinat atunci cînd numărul de necunoscute nu coincide cu numărul de ecuații sau determinat în caz contrar.

„Obiectele mai mici” despre care vorbea Sylvester erau bucăți din determinantul inițial care se pot calcula individual — determinanți mai mici. Adică tocmai ceea ce astăzi se cheamă minori, cuvînt la fel de potrivit în context, căci minorii apar din (determinanți de) matrice mai mari.

Poate par lucruri triviale, dar depinde pe cine întrebi; matematicienii probabil nu-ți vor da dreptate. Un concept matematic este trivial dacă aproape nu necesită demonstrație, căci e clar, imediat. Numerele, triunghiurile și tabla înmulțirii sînt, deci, concepte (sau obiecte matematice) triviale. Însă limbajul non-tehnic numește trivial un lucru de prost gust, obscen aproape.

Separarea sensurilor apare încă de la origine: latinescul trivium, intersecție a trei drumuri, un fel de sens giratoriu, ca o piață, la colțul străzilor. Dacă te gîndești ce s-ar putea discuta într-un astfel de loc, ai ambele răspunsuri: atît subiecte banale, fleacuri, cît și bîrfe sau obscenități. Lucruri vulgare — un alt termen ambiguu cînd îi cauți originea, căci vulgul era poporul, publicul general, care nu se ocupa (doar) cu obscenități.

E drept că dicționarul explicativ nu e cel mai bun să înveți matematică. Dar, dacă ai curiozitatea să cauți originea unor termeni și istoria ideilor pe care le reprezintă, ai multe de învățat. Un flux al conceptelor care traversează secole sau milenii, sau pur și simplu o glumă sau o metaforă. Nu știi niciodată peste ce dai și, ca în multe alte situații, actul descoperirii îți arată mai multe decît rezultatul.

Tot axiomele, definiția și teoremele din manual te ajută pragmatic examen, dar matematica e mult mai mult decît calcule, teste și note. Anecdotele, metaforele și legăturile pe care le întîlnești rămîn cu tine după ce ieși din sală și din școală.