„În matematică nu se poate să nu știm!”, spunea germanul David Hilbert, la Congresul Internațional al Matematicienilor din 1900. Convingerea lui Hilbert se voia și un îndemn pentru cercetătorii din domeniu, mai ales că la același Congres, el prezentase și o listă de probleme din matematica înaltă, care trebuie rezolvate cu prioritate. Deși lista lui Hilbert a produs rezultate mixte de-a lungul anilor — unele probleme s-au dovedit neclare, altele imposibil de rezolvat —, germanul și-a păstrat convingerea pînă la finalul vieții. În 1930, el declara:

„Nu trebuie să-i credem pe aceia care, cu un ton filosofic apăsat, prezic declinul culturii și acceptă să nu știm. Pentru noi, [matematicienii] nu există să nu știm, iar în opinia mea, la fel și în științele naturii. Împotriva naivului ignorabimus, sloganul nostru va fi «Trebuie să știm — vom ști.»”

Hilbert se referă la dictonul latinesc ignoramus et ignorabimus, tradus prin „nu știm și nu vom ști”, pe care fiziologul Emil du Bois-Reymond îl propusese, în 1872, într-un discurs despre limitele științei. Du Bois-Reymond susținuse că există o limită ultimă a naturii, motiv pentru care cunoașterea completă nu este posibilă. În plus, starea de conștiență, necesară cunoașterii, este o enigmă. La cîțiva ani distanță, propune și el o listă a lucrurilor care vor rămîne necunoscute, printre care natura materiei și a energiei, originea mișcării și originea simțurilor.

Pentru timpurile respective, ambii cercetători au avut argumente solide prin care și-au susținut pozițiile. Dar după cîteva decenii, convingerile amîndurora s-au prăbușit. Astăzi, cunoaștem mult mai multe despre biologie și neurologie decît ar fi putut ști du Bois-Reymond, inclusiv în ce privește starea de conștiență. Apoi, chiar în timpul vieții lui Hilbert, austriacul Kurt Gödel a arătat că vor exista propoziții matematice imposibil de demonstrat — unele dintre ele, chiar în lista lui Hilbert.

Încrederea fie într-o cunoaștere completă, fie într-o ignoranță obligatorie se bazează parțial pe experiență și mai mult pe un fel de optimism (respectiv pesimism) științific sau filosofic. Dar adevărul este că științele naturii și matematica au propriile metode prin care lucrează direct cu necunoscutul sau, mai bine zis, cu imposibil-de-cunoscutul.

Trecutul, prezentul și viitorul într-o ecuație

Folosirea matematicii în descrierea și apoi predicția comportamentului naturii a părut o superputere. Dacă înțelegi ecuațiile pentru mișcarea unui corp în anumite condiții, atunci poți produce o teorie (matematică, în cea mai mare parte) prin care știi ce va face corpul respectiv peste un milion de ani, dar și ce a făcut acum douăzeci de secunde. Modelul matematic, atunci cînd este suficient de detaliat, dă nu doar o descriere a stării de fapte din natură, ci simultan, o predicție și o arhivă. Cînd viteza unui obiect evoluează după o lege matematică (funcție) care depinde de timp, atunci variabila „timp” poate să fie și instantanee, și în trecut, și în viitor. Aici este superputerea matematicii: universalitatea, prin care o lege care descrie un comportament, este eternă și generală.

O astfel de convingere, dusă la nivel de teorie filosofică încă din perioada matematizării avansate a fizicii, mai ales prin Isaac Newton, s-a numit determinism. O ecuație nu doar descrie comportamentul unui sistem fizic, ci îl determină complet, conține toate stările trecute, prezente, și viitoare ale sistemului.

Determinismul permite, de exemplu, simulări controlate complet. Dacă știi ecuațiile după care evoluează un sistem și stabilești o configurație inițială, atunci stările viitoare ale sistemului sînt determinate de ecuațiile respective: știi exact la ce să te aștepți.

Astfel, surpriza părea eliminată din știință, cel puțin după ce ai găsit ecuațiile potrivite. Metoda științifică înseamnă experiment, încercări, erori și corecții, dar de îndată ce ai descoperit legea de mișcare, de exemplu, totul merge conform acesteia.

În timpul lui Newton, experimentele teoretizate erau, majoritatea, la scară macroscopică sau cosmică, dar progresul în chimie și tînăra fizică atomică, nucleară și apoi cuantică a contrazis mai multe așteptări decît puteau prevedea teoriile.

În 1927, fizicianul german Werner Heisenberg introduce principiul de incertitudine în fizica subatomică. Dacă vrei să măsori poziția, masa și viteza unei particule, acuratețea are un prag fixat matematic. Masa și viteza le poți studia împreună, cu ajutorul caracteristicii numită impuls, calculată ca produsul dintre masa și viteza unui corp și cunoscută încă de la Newton. Dar Heisenberg demonstrează că poziția în spațiu și impulsul unei particule subatomice au grade de incertitudine invers proporționale, care nu pot fi niciodată mai mici decît o constantă universală (numită constanta lui Planck redusă). Cu cît vrei să știi mai multe despre unde se află obiectul, adică poziția lui, cu atît pierzi mai multă informație despre masa și viteza lui și reciproc. Nicio măsurătoare, nici măcar calculele matematice, însă, nu pot să-ți mai dea acuratețe totală: eroarea este obligatorie, iar valoarea ei minimă are un prag.

Principiul de incertitudine al lui Heisenberg — căci este mai mult decît o inegalitate matematică — vine într-un moment în care fizica deja vorbea despre dualitatea undă-corpuscul și studia particulele subatomice cu ajutorul funcțiilor de undă. Precizia perfectă a lui Newton și aproximația de „corp punctiform” pe care o știi din liceu nu mai sînt valabile cînd o „particulă” precum electronul este, simultan, și o undă.

Aproape simultan cu Heisenberg, austriacul Erwin Schrödinger publică o ecuație fundamentală a lumii subatomice, care astăzi îi poartă numele. Ecuația lui Schrödinger, apărută în 1926, înlocuiește fundamentele lui Newton cu un aparat matematic complet nou, potrivit particulelor cu comportament dual. Una dintre principalele modificări este că, în locul variabilelor de tip poziție, viteză, impuls, energie, Schrödinger lucrează cu probabilități. Variabilele fizicii devin, astfel, funcții care conțin mai multe valori, niciuna certă, dar astfel încît toate valorile lor posibile respectă anumite legi. Nu mai știi poziția particulei, știi probabilitatea ca ea să ocupe o anume poziție.

Aparatul teoretic sofisticat, pentru care și matematicienii au avut de învățat de la fizicieni, împreună cu experimentele tot mai ciudate, precum cel al fantei duble, prin care pare că un electron se află în mai multe locuri simultan, au dat lovituri serioase determinismului. Cînd natura se teoretizează prin probabilități, prin erori obligatorii, adică valori „adevărate” imposibil de cunoscut, iar toate aceste unelte matematice sînt verificate experimental, a spune că o ecuație conține întreg trecutul, prezentul și viitorul unui sistem fizic înseamnă ignoranță.

Complex sau doar complicat?

Ecuațiile fizicii cuantice nu au însemnat înlocuirea metodelor clasice, newtoniene, dar le-au redus gradul de aplicabilitate. Pe lîngă uimitoarea matematică și frustrarea rezultată din imposibilitatea de a mai înțelege fenomenele intuitiv, teoria cuantică arată că universalitatea este o cerință excesivă.

În unele cazuri, însă, nici nu este nevoie de obiecte individuale care să se comporte imprevizibil, precum particulele subatomice sau găurile negre. Complexitatea și rezultatele surprinzătoare apar și dintr-un număr foarte mare de componente pe care, individual, le înțelegem perfect. De altfel, însăși fizica cuantică s-a inspirat semnificativ din termodinamică și fizică statistică. Chiar și un pahar cu apă conține atît de multe molecule, încît, deși le cunoaștem comportamentul și structura chimică individual, numărul foarte mare (de ordinul a 10²³ sau numărul lui Amedeo Avogadro) face imposibil studiul fiecăreia în parte. Așa că se folosesc metode statistice.

Poate un pahar cu apă nu este cel mai bun exemplu de sistem complex, pentru că moleculele nu interacționează semnificativ. Un obiect matematic mai potrivit, inspirat din natură, se numește automat celular. Probabil cel mai faimos exemplu este Jocul vieții, introdus de matematicianul britanic John H. Conway, în 1970. El se mai numește și joc fără jucători (0-player game), pentru că este alcătuit dintr-o configurație inițială și un set de reguli după care jocul evoluează singur, automat. Regulile sînt inspirate din evoluția populațiilor și din biologie, astfel încît după introducerea lui ca divertisment (ca multe dintre lucrările lui Conway), și-a găsit aplicații diverse.

În teorie, Jocul vieții poate să funcționeze cu oricîte componente. Previzibil, cu cît numărul este mai mare, cu atît evoluția este mai spectaculoasă și, de la un punct încolo, aproape imprevizibilă. De exemplu, cercetătorii au descoperit mai multe configurații speciale, precum Grădina Raiului. O astfel de configurație nu poate fi atinsă niciodată în evoluția unui sistem din Jocul vieții, așa că, într-un fel, este primordială. Nu o poți obține decît ca un aranjament la începutul jocului.

Dar poate cel mai important exemplu de sistem complex din zilele noastre este al inteligenței artificiale.

Spre deosebire de sistemele „complicate”, în care este vorba de mulți parametri, dar care se pot analiza determinist, un sistem complex implică atît un număr mare de componente, cît și interacțiuni diverse între ele. Nu există o definiție riguroasă a sistemelor complexe, dar cîteva trăsături sînt esențiale. De exemplu, interacțiunile neliniare dintre componente contribuie la complexitate. În terminologie matematică, o legătură (ca între datele de intrare și cele de ieșire, într-o funcție matematică sau aparat) este liniară dacă respectă o oarecare proporționalitate. Știi că aparatul de cafea îți dă o băutură cu volumul pe jumătate din volumul de apă introdus, deci introduci 500 ml ca să ai o ceașcă de 250 ml de cafea. Interacțiunile neliniare, însă, se bazează pe formule complicate, uneori probabilistice, așa că nu poți ști sigur ce obții, chiar dacă introduci aceeași cantitate de fiecare dată.

La fel de important în sistemele complexe este feedback-ul. Rezultatul se refolosește ca date de intrare, iar sistemul îl procesează din nou, după care repetă procedura cu al doilea rezultat ș.a.m.d. În inteligența artificială, de exemplu, feedback-ul are un rol foarte important, pentru că modelează învățarea, pe bază de recompensă ori sancțiune, care să arate calitatea rezultatului.

Una dintre cele mai spectaculoase caracteristici a sistemelor complexe este comportamentul emergent. Din toate aceste ingrediente sofisticate și interacțiuni de ordin incontrolabil, poate apărea ordinea sau ceea ce pare o autoorganizare. În Jocul vieții, există o configurație la care se poate ajunge periodic. Alte exemple spectaculoase de autoorganizare întîlnești în zborul stolurilor de păsări sau al roiurilor de albine, despre care se cunoaște că au reguli sofisticate de conducere și ierarhie, încît comportamentul emergent se mai numește comportament de roi (swarm behavior).

Toate aceste interacțiuni complexe, neliniare și care conduc la comportament emergent fac imposibil studiul unor sisteme precum modelele de inteligență artificială cu precizie și cu certitudine.

Știința nu e folclor

Argumentele pentru complexitate, incertitudine și rezultate probabilistice sau statistice sînt, deci, în interiorul științei și al matematicii. Lor se adaugă aplicațiile și interpretările din discipline ca filosofia, dar și deficiențe de comunicare publică. Așa apar unele dintre dezinformări, conspirații și „adevăruri ascunse”. Faptul că știința și matematica, în esența lor, nu sînt democratice și, după un anumit nivel de profunzime încolo, nu mai sînt accesibile tuturor e un lucru greu de acceptat, dar incontestabil. Dezbaterea nu-și are locul într-o demonstrație matematică, iar după stabilirea rezultatului, poate să aibă cel mult rol de socializare (sau, mai curînd, de dezbinare).

Oricine nu înțelege acest lucru, de fapt nu înțelege rigoarea științifică și de cercetare. Dar asta nu înseamnă că știința sau matematica au „adevăruri ascunse”, rezervate unor „inițiați”, decît dacă, prin „inițiere” se înțelege un studiu riguros, academic, întins pe ani sau decenii.

Multe dintre rezultatele pe care le privim cu lejeritate astăzi, de exemplu cînd folosim adjectivul „cuantic” în locuri deplasate, se bazează pe cercetări foarte abstracte. Ramurile științei de astăzi sînt atît de specializate, încît experții în domeniu ajung să cunoască în amănunt doar fragmente foarte mici. Asupra domeniului în ansamblu, un cercetător onest își declină competența.

Un rezultat științific sau matematic nu se confundă niciodată cu consecințele sale și cu atît mai puțin cu explicațiile sau interpretările pe care le dau cercetători din interiorul echipei de lucru sau experți independenți. Din acest punct de vedere, teoria nu poate fi niciodată subiectivă sau încărcată de emoție. Rezultatul unui experiment nu se modifică din cauză că înșală așteptări sau viitorul financiar al laboratorului depinde de acest deznodămînt.

Totuși, în majoritatea societăților, dacă nu în toate, accesul (fizic și intelectual al) publicului larg într-un laborator sau institut de cercetare este limitat, iar publicațiile academice sînt departe de a fi accesibile. Poate că astfel de lucruri sînt inevitabile și chiar obligatorii într-o societate suficient de dezvoltată inclusiv din punctul de vedere al educației. Dar, pentru că oamenii răspund în primul rînd la emoție, și abia apoi la rațiune, una dintre consecințe este că opinia, comentariul și interpretarea amenință uneori să ia locul faptelor.

Discursul public nu este un curs academic, dar asta nu înseamnă că nu poate să educe. Principala condiție este ca emițătorul însuși să fie suficient de educat pentru a înțelege ce comunică, către cine o face și să aibă și cele mai bune intenții.

În fine, cred că argumentul ultim este pentru onestitate, inclusiv intelectuală. Nespecialiștii care au certitudinea că știu (mai bine) greșesc la fel de mult precum cercetătorii care nu au tăria de a spune că nu știu, fie pentru că nu pot ști, fie pentru că încă lucrează.

Mulțumesc pentru lectură! Postările de pe Gradient vor fi mereu disponibile gratuit. Dacă ai aflat ceva util sau ți-a plăcut ce ai citit, poți susține publicația printr-o distribuire, un abonament sau o contribuție singulară.