Cinci cărți despre gîndirea matematică și frumusețea ei

La douăzeci de ani, majoritatea sîntem abia intrați în facultate, cu o idee mai mult sau mai puțin vagă despre viitor și carieră. Évariste Galois rezolvase deja una dintre cele mai vechi probleme ale matematicii, cu metode și teorii proprii, care au deschis drumuri noi pentru deceniile următoare. Avea să moară în 1832, la cinci luni după a douăzecea aniversare, împușcat într-un duel pentru o fată.

Am convingerea că există cărți cu matematică din care poți să afli că, pe cît de abstractă pare această ramură a cunoașterii, pe atît de strîns este legată de uman. Nu există matematică fără matematicieni, iar biografiile cercetătorilor pot să fie la fel de spectaculoase ca impactul descoperirilor lor. În plus, acest impact depășește adesea aria teoremelor. Altfel, nu am vorbi despre aplicații ale matematicii sau despre psihologia învățării în acest domeniu.

Nu-mi place să fac liste, dar 5 este un număr prim, deci iată cinci cărți cu matematică, pe care nu le vei citi cu creionul în mînă ca să clarifici vreo ecuație, pentru că nu vei găsi așa ceva în ele. Iar dacă totuși o faci și iei notițe, m-aș bucura să-mi scrii în comentarii sau într-un răspuns la newsletter ce ți-a atras atenția și ce ai vrea să știi cu mai multe detalii.

Apologia unui matematician, G. H. Hardy (1940)

Godfrey Harold Hardy a fost profesor la Cambridge, un cercetător cu opinii ferme, inclusiv despre propria operă. A susținut pînă în ultima clipă că matematica de care s-a ocupat toată viața nu are vreo aplicație practică, iar unul din cursurile pe care le-a publicat se cheamă A Course in Pure Mathematics. Dar Hardy nu era neapărat elitist, convingerea lui nu însemna că matematica este deasupra tuturor disciplinelor cunoașterii, ci pur și simplu delimita matematica de aplicațiile ei, precum științele naturii. Cînd folosești o ecuație a matematicii ca să dezvolți un produs ingineresc, de exemplu, găsești o aplicație, dar asta nu face obiectul cercetărilor unui matematician.

Apologia unui matematician, eseul pe care îl publică în 1940, nu este o justificare, Hardy nu scuză și nu apără domeniul său de specializare, cum pare că sugerează titlul. Convingerile sale se prezintă sub forma unui crez personal, a unui raison d’être, prin care britanicul îți arată o imagine de ansamblu a domeniului său. Matematica stă mai degrabă lîngă arte, iar Hardy sugerează că teoriilor și teoremelor li se poate aplica un criteriu estetic: „Nu există loc în lume pentru matematică urîtă”, spune el, cu o convingere care se prezintă mai degrabă ca o confesiune — cu siguranță, dar nu cu autoritate.

Pi in the Sky, J. D. Barrow (1992)

Tot despre credință în matematică este și cartea britanicului John D. Barrow, matematician și fizician. Însă perspectiva este universală, prin întindere geografică și istorică. Subtitlul Counting, Thinking, and Being trasează o astfel de evoluție în jurul conceptului de număr.

Cartea lui Barrow nu este mistică, nici nu are tonul personal al Apologiei lui Hardy, ci urmărește, cu dovezi istorice, rolul numărului și al altor obiecte matematice de-a lungul mileniilor. Mai general, este vorba despre rolul matematicii, ca disciplină a gîndirii, cu influențe culturale și sociale puternice, în ambele direcții. Autorul se oprește la cercetări faimoase, precum înțelegerea infinitului, mai ales prin eforturile lui Georg Cantor, dar și la solidele platonice, cu rol important în matematică, dar și în filosofia naturii, artă și nu numai.

Legat de număr, două exemple prezentate sînt în limbajul tribului amazonian Botocudo și în cultul din jurul lui Pitagora. Indienii Botocudo nu au în limbaj numere mai mari decît 4, iar dacă au nevoie să exprime alte cantități, arată spre părul de pe cap, ca și cum ar vrea să spună „nenumărat”.

De cealaltă parte, pitagoreicii atribuiseră virtuți și personalități numerelor 1, 2, 3, 4, astfel că 10 nu era doar suma lor aritmetică, ci și însumarea lor, perfecțiunea. Încă mai găsești o astfel de reprezentare, numită tetraktys, desenată sub forma unui triunghi, cu obiecte plasate stratificat: unul în vîrf, două imediat după, apoi trei și patru, o reprezentare care duce cu gîndul, în modernitate, la începutul triunghiului lui Pascal. De-a lungul istoriei, figura a circulat și în alte culturi, precum cea ebraică, sau în alchimie și ezoterism.

Ecuația care n-a putut fi rezolvată, M. Livio (2006)

Cartea mi-a deschis curiozitatea pentru algebră, fiindcă mi-a arătat ce legătură strînsă are cu simetria, în artă, fizică sau chimie — așa că o recomand cu fiecare ocazie. Dar poți să o citești pentru multe alte motive. Găsești, de exemplu, biografia a doi matematicieni de geniu (și nu abuzez de acest cuvînt): Évariste Galois și Niels Henrik Abel, care au pus capăt unor cercetări începute cu milenii în urmă.

Galois a murit la doar douăzeci de ani și a fost, în mare parte, autodidact, căci comunitatea academică i-a refuzat intrarea la École Polytechnique și nici articolele de cercetare pe care le-a publicat nu au primit prea multă atenție. Abel a trăit pînă la douăzeci și șase de ani, călătorind mult pentru a-și găsi locul, dar sănătatea fragilă nu l-a ajutat.

Amîndoi au lucrat, fără să se cunoască, deși au fost contemporani, la rezolvarea ecuațiilor de grad mai mare sau egal cu cinci. Încă din perioada babiloniană, ecuațiile simple au fost folosite pentru probleme economice sau funciare, dar, treptat, geometria a impus lucrul cu arii și volume, deci ecuații de gradul doi sau trei. Cele de grad superior au apărut natural, iar pînă în perioada Renașterii, nu se cunoșteau formule generale care să rezolve orice ecuație întîlnită. De aceea, se organizau dueluri publice între marii matematicieni ai Italiei, iar cel care putea rezolva cît mai multe din ecuațiile propuse de adversar avea aproape garantat un post universitar. Pierzătorul adesea trebuia să părăsească orașul, căci fusese dezonorat în public.

Galois și Abel au arătat că aceste dueluri au avut, totuși, un sens și poate chiar un viitor. Ecuațiile de grad mai mare sau egal cu cinci (cele care folosesc x⁵) nu se pot rezolva printr-o formulă generală, așa că rămîn doar soluțiile ad hoc sau aproximative. La fel de spectaculos este și faptul că, pentru a ajunge la concluzie, cei doi practic au creat o nouă ramură a matematicii — teoria grupurilor, astăzi indispensabilă în algebră și geometrie, dar și în fizică sau chimie.

Mario Livio, fizician american de origine română, a scris biografia unei idei și poveștile uimitoare, dar tragice ale doi tineri strălucitori. Împreună, alcătuiesc o prezentare accesibilă a unei teorii moderne care îmbină arta cu matematica și științele naturii.

Les Rêveurs lunaires, Cédric Villani (2015)

Nu doar două, ci patru biografii excepționale îți propune matematicianul Cédric Villani, laureat Fields, în cartea Visători picați din lună (tradusă la editura Trei în 2015): Alan Turing, Werner Heisenberg, Léo Szilard și Hugh Dowding. La fel de spectaculoasă este și prezentarea grafică. Villani a colaborat cu artistul Edmond Baudoin și au alcătuit o carte de benzi desenate, în care biografiile celor patru sînt schițate cu multe simboluri și metafore.

Singuraticul Alan Turing, inventatorul principiului matematic după care funcționează limbajele de programare, apare bîntuit de șiruri binare infinite, în timp ce-și îmbrățișează ursulețul de pluș, Porgy, primit de la părinți de Crăciun. Fizicianul Werner Heisenberg este zdruncinat de incertitudinea din fizica fundamentală, pe care a demonstrat-o matematic. Colegul său, maghiarul Léo Szilard, are propriii demoni, apăruți din reacțiile nucleare pe care le-a studiat și care au condus la atîta distrugere. Iar pilotul RAF Hugh Dowding, care a apărat Marea Britanie de invazia hitleristă, era vizitat de spiritele camarazilor pieriți în luptă.

În 2015, Villani și-a lansat cartea la Institutul de Matematică al Academiei Române, din București. Am fost la eveniment, iar discuțiile au ajuns și la filmul The Imitation Game (2014), care-l portretizează pe Turing. În stilul extravagant caracteristic, Villani a explicat cum s-a documentat pentru cartea lui și că, deși este plină de simboluri, unele desenate șocant de Baudoin, și-a propus să fie cît mai apropiat de realitate. Formatul unei benzi desenate poate, cel mult, să deschidă curiozitatea pentru a afla detaliile istorice, dar a ales această prezentare și ca să demonstreze că despre matematică și științe poți scrie, desena sau vorbi sub mai multe forme.

Where Mathematics Comes From, G. Lakoff, R. Núñez (2000)

Închei cu o carte în care matematica nu mai este prezentată din interior, prin biografii de cercetători și ideile lor, ci integrată în mecanismele psihologice și circuitele neuronale prin care înțelegem și învățăm.

Lingvistul George Lakoff și-a început cercetările asupra subiectului pe la începutul anilor 1990. A colaborat cu filosoful Mark Johnson la cartea Metaphors We Live By, unde argumentează că metafora, ca procedeu literar înrudit cu analogia, comparația și abstractizarea, este la fel de utilă și în arta cuvîntului, și în științe. Poți observa, de exemplu, cum în multe limbi există asocierea implicită între „sus” și „mai bine” sau „mai mult”; chiar adjectivul „superior” sugerează asta.

Astfel de asocieri ajută și la înțelegerea matematicii: conceptual vorbind, o expresie ca „aspirații înalte” folosește același tip de analogie cu „înaltă tensiune”, la nivel psihologic și chiar al circuitelor neuronale.

Lakoff colaborează aici cu psihologul Rafael Núñez tocmai pentru astfel de aplicații. Îți arată cum concepte și obiecte matematice abstracte, precum teoria mulțimilor, inducția și infinitul se leagă de construcții intuitive, din limbajul natural și din lumea fizică, uneori la nivelul propriului corp. De aici și subtitlul cărții, How the Embodied Mind Brings Mathematics into Being.

Deși studiile lui Lakoff și Núñez nu sînt recente, în școli găsești puține cazuri de predare cu ajutorul unor astfel de construcții. După numărătoarea pe degete și metoda grafică din școala primară, matematica pierde foarte rapid contactul cu realitatea și se adîncește în abstract. 

Acum, 5 este un număr prim, dar 2 este și el prim și 5 + 2 e tot număr prim, așa că adaug pe scurt două bonusuri.

Bonus 1: Belief in God, T. J. Mawson (2005)

Poate nu te așteptai să găsești în listă o carte de filosofia religiei, însă volumul lui Tim J. Mawson, profesor de filosofie și teologie la Oxford, este un exemplu extraordinar de elocvență, claritate și atenție la argumentare. În plus, este și un exercițiu de stil care se potrivește excelent atît într-un mediu academic, cît și către publicul larg.

Profesorul Mawson analizează, pe rînd, atributele clasice ale lui Dumnezeu (omnisciență, omnipotență, omniprezență, bunătate etc.), precum și problema existenței răului în lume. Autorul verifică logic și aproape matematic conceptul (nici măcar „ființa” sau „entitatea”) de Dumnezeu, cu atenție deosebită la definiții, implicații și argumente.

Dacă îl apreciezi pe Stephen Fry sau pe alți autori britanici oarecum sofisticați, raționali și ușor posh, cred că și Mawson îți va plăcea.

Bonus 2: Istoria cuprinzătoare a matematicii

Dacă vrei, totuși, să citești într-un format aproape clasic despre istoria matematicii, cu claritate, din antichitate și pînă aproape de prezent, îți recomand două cărți care nu conțin formule și teoreme complicate.

A History of Mathematics (1968), de Carl Boyer și Uta Merzbach, este propunerea mea în primul rînd pentru zona europeană.

The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics (1991), de George G. Joseph îți sugerez dacă te interesează mai mult zona arabă, chineză și cea indiană.

Dacă ai citit deja una sau mai multe din cărțile de aici sau dacă vrei să-mi recomanzi altele, răspunde la mesajul din newsletter sau lasă un comentariu pe site. Biblioteca nu e niciodată prea mare.