Problemele științei și ale matematicii devin tot mai grele. Avem construcții teoretice sofisticate, cea mai mare putere de calcul din istorie, dar și cea mai mare experiență. Matematica și științele se construiesc cumulativ: fiecare cercetare se bazează pe rezultate anterioare, direct sau indirect, așa că problemele care apar după decenii sau secole de lucru sînt, cu siguranță, de rafinament sau dificultate tehnică deosebită.

Abstractizarea sau generalizarea, care stă la baza întregii matematici, a dus la multe ramificații, către direcții secundare. Fiecare disciplină are metode interne, proprii de validare a rezultatelor obținute, iar o dificultate filosofică sau legată de eventuale aplicații nu influențează dezvoltarea teoriilor și teoremelor matematicii. Totuși, însăși ideea de abstractizare, dusă pînă la maximul teoretic — acela de axiomatizare — merită o discuție în context, unul al minții umane, al gîndirii, al istoriei și al educației.

Istoria matematicii este, în cea mai mare măsură, istoria problemelor matematicii. În același timp, e greu să ignori întîmplările particulare, accidentele biografice și, pînă la urmă, aleatoriul natural care influențează întreg Universul. Dacă Évariste Galois nu ar fi murit la douăzeci de ani, poate că ar fi avut rezultate care să schimbe și mai mult viitorul algebrei. Sau poate, dimpotrivă, presat de viața trăită pe repede-înainte, a obținut maximul pe care l-ar fi putut atinge la vîrsta la care mulți abia încep studiul și cercetarea.

O altă biografie care s-a îmbinat cu cercetările fundamentale geniale a fost a lui Georg Cantor. Mintea sa, pusă în slujba abstractului, chiar cînd amenința să intre în conflict cu convingerile personale și spirituale, a fost zdruncinată puternic de ierarhia infinitului pe care a demonstrat-o.

În continuarea recomandării celor cinci cărți despre gîndirea matematică, adaug încă trei, despre rigoarea, istoria și componenta personală a matematicii.

Science in the Looking Glass, E. B. Davies (2007)

Profesorul E. Brian Davies pune istoria problemelor matematicii și științei sub lupă. Deși a fost matematician, Davies (care a murit în 2025) își prefațează cartea cu o observație îndrăzneață:

„În ciuda faptului că teoriile pline de matematică conduc adesea la predicții corecte, nu ar trebui, din acest motiv, să credem că aceste teorii sînt adevărate sau că Natura este guvernată de matematică. De fapt, teoriile științifice care e probabil să nu se modifice în următoarele milenii sînt cele mai puțin matematizate, ca de exemplu teoria evoluției, dinamica plăcilor tectonice sau existența atomilor.”

Teza este, așadar, că știința înseamnă mult mai mult decît matematică. În același timp, poziția filosofică a autorului este că matematica seamănă mai degrabă cu o creație umană, care descrie Natura. Acuratețea pentru care este cunoscută o teorie riguroasă a matematicii, ca și aplicațiile sale trebuie înțeleasă în primul rînd ca o realizare extraordinară și creatoare a minții umane, nu accesul la schițele după care funcționează Natura.

Davies arată evoluția problemelor foarte dificile în mai multe ramuri ale științei și matematicii: algebră și teoria numerelor, teoria calculabilității, teoria probabilității, mecanica cuantică, astronomia și mecanica cerească. Dar unul dintre cele mai interesante capitole este al patrulea, Cît de grele pot să devină problemele? Întrebarea nu așteaptă răspuns, pentru că exemplele sînt imprevizibile. De exemplu, problema celor patru culori, care a rămas în istorie drept primul exemplu de demonstrație asistată de computer, are o formulare incredibil de simplă: Dacă vrei să colorezi teritoriile de pe orice hartă, astfel încît să nu existe două teritorii vecine cu aceeași culoare, sînt suficiente patru culori. Ea a fost, totuși, finalizată, dar alte exemple, la fel de simple în exprimare, precum conjectura lui Goldbach, sînt încă departe de o soluție și după cîteva secole. În 1742, Christian Goldbach îi scrie lui Leonhard Euler că orice număr par se poate obține ca suma a două numere prime. (Conjectura a trecut prin mai multe revizuiri, unele chiar în schimbul continuat de scrisori dintre Euler și Goldbach, dar aceasta este forma finală la care încă se lucrează.)

Dificultatea problemelor matematicii nu se confundă, însă, cu dificultatea algoritmică a problemelor computaționale. Aici, Davies explică ce înseamnă complexitatea unui algoritm și ce înțeleg informaticienii prin „problemă grea”. În același timp, indiferent de unghiul de abordare a problemelor grele, mesajul este că surpriza poate apărea de oriunde: fie de la o teoremă demonstrată după mai bine de trei secole (vezi Marea Teoremă a lui Fermat), fie de la o conjectură care încă stă în picioare după multe secole de încercări, deși enunțul se poate explica fără probleme în gimnaziu.

Axiomatics: Mathematical Thought and High Modernism, A. Steingart (2023)

De mai bine de un secol încoace, unii matematicieni au crezut că, dacă ar găsi un sistem axiomatic la baza întregii construcții, atunci majoritatea problemelor s-ar reduce la o simplă căutare a combinației potrivite de reguli. Dacă ar exista o serie de axiome — propoziții fundamentale, pe care le acceptăm drept adevărate, căci demonstrația lor ar necesita un alt sistem de gîndire —, din care să-și tragă adevărul, prin reduceri succesive, toate teoremele matematicii, atunci poți pur și simplu să încerci combinații diferite de reguli pînă ajungi la o demonstrație. Provocarea ar semăna cu regulile de sintaxă într-un limbaj: știi ce litere și semne ai voie să alături ca să formezi cuvinte. Atunci, ca să exprimi o anume idei, nu ai decît să găsești combinația potrivită de litere și semne.

Doar că lucrurile nu aveau cum să funcționeze în matematică. Mai întîi au venit teoremele de incompletitudine ale lui Kurt Gödel, care a arătat în anii 1930 că, dacă vrem un astfel de sistem, trebuie să acceptăm fie că va fi incomplet (adică vor exista probleme la care nu poți construi demonstrația), fie contradictoriu (adică o aceeași propoziție se demonstrează corect că este și adevărată, și falsă).

Dar au fost multe alte încercări care au arătat că însăși ideea de reducere a matematicii la axiome este greșită. Algebra și geometria, la bază, au fost două dintre primele ramuri pentru care s-a încercat această reducere, prin propunerea unuia dintre cei mai importanți cercetători ai secolului trecut, David Hilbert. Dar matematica s-a diversificat mult prea mult pentru a putea fi redusă pur și simplu la un set de axiome.

Alma Steingart este specialistă în istoria matematicii la Universitatea Columbia din New York. Cartea ei, Axiomatics (reeditată în 2025 cu titlul Pure Abstraction) este în primul rînd o carte de istoria culturii. Numitorul comun al celor șase capitole este abstractul, prin unelte avansate de matematică. Dar, în loc să se concentreze pe dezvoltarea matematicii înseși, de exemplu prin eforturile de fundamentare în teorii logice și axiomatice precum cele propuse de Bertrand Russell, Alfred N. Whitehead și alții, autoarea tratează însăși ideea de fundamentare a mai multor discipline științifice și nu numai într-un fel de cadru abstract care să semene cu axiomatizarea.

Ideea de abstractizare nu o întîlnești doar în matematică sau în științele naturii. Matematizarea aplicată la tot mai multe discipline, inclusiv în sociologie, prin îndemnul lui Claude Lévi-Strauss (1954), a deschis calea către „matematica omului”.

„Paradoxul e clar acum, cînd cele mai abstracte idei sînt adevăratele arme cu care ne controlăm gîndirea asupra celor mai concrete lucruri.”

spunea logicianul britanic Alfred North Whitehead, într-un extras pe care Steingart îl folosește drept motto al capitolului cinci din carte.

The Mystery of the Aleph, A. Aczel (2000)

Abstractul axiomatic din matematică îl întîlnești cel mai des în legătură cu teoria mulțimilor. Pe cît de lipsite de formă sau proprietăți par aceste obiecte, pe atît de complicat s-a dovedit studiul lor riguros. În fond, ce este o mulțime? Sau, mai bine zis, ce nu este o mulțime? Poți să dai un exemplu de o colecție de obiecte care să nu fie o mulțime? Pare complicat, tocmai pentru că mulțimea stă la baza oricărei „adunături” de obiecte. În aceeași mulțime poți să pui numere și flori, matrice și teorii, simboluri și cuvinte, iar apoi poți să construiești încă o mulțime alcătuită din mulțimile acestea.

O mulțime finită nu este neapărat un obiect spectaculos: îi enumeri elementele și gata, le știi pe toate, deci ai toate informațiile necesare pentru operații sau relații cu alte mulțimi. Dar mulțimile infinite? În particular, mulțimile de numere, pe care le folosim cu toții zilnic, începînd chiar cu numerele naturale: 0, 1, 2, 3, 4...

Un prim pas a fost o clasificare elegantă. Dacă două mulțimi au același număr de elemente, atunci ele pot fi puse în corespondență prin legături între perechi de elemente. De exemplu, mulțimea {1, 2, 3, 4} și mulțimea {a, b, c, d} sînt, în esență, „la fel”, dacă te gîndești că ai un fel de „traducere” care leagă elementele în perechi: (1,a), (2,b), (3,c) și (4,d). Așa că este suficient să te gîndești la un reprezentant: toate mulțimile de patru elemente sînt „reinterpretări” ale mulțimii {1, 2, 3, 4}.

Dar mulțimile de numere (cele naturale, întregi, raționale, reale și complexe) sînt toate infinite. Deci sînt toate la fel, fiindcă au același „număr” de elemente? Răspunsul negativ a venit prin mai mulți cercetători, dar nimeni nu a dus această idee mai departe decît germanul Georg Cantor (1845-1918).

Indiferent de nivelul la care citești despre cercetările lui Cantor, nu ai cum să nu fii surprins, poate chiar pus în disconfort, nu doar intelectual. De exemplu, numerele naturale, ca 0, 1, 2, 3, 4,... și numerele întregi, ca -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 pot fi puse într-o corespondență unu la unu. Ambele mulțimi sînt infinite și corespondența arată că este vorba despre același tip de infinit. Cum se poate, din moment ce numerele întregi mai conțin încă o copie a numerelor naturale, doar că în variantă negativă? Teoria funcțiilor și a mulțimilor, prin mintea genială a lui Cantor, a lămurit acest lucru.

Dar numerele reale, cele care conțin radicali sau constante universale precum π? Și ele sînt în număr infinit, deci trebuie să fie vorba despre același tip de infinit, probabil te gîndești. Cantor a arătat că o astfel de intuiție este greșită. Numerele reale sînt „mai multe” decît cele naturale, întregi sau raționale. În alte cuvinte, există cel puțin două tipuri de infinit.

Surpriza nu se oprește aici, căci Cantor a arătat că saltul de la infinitatea numerelor naturale la cea a numerelor reale este uriaș; a doua mulțime este cu mult mai mare. Totuși, în ce privește numerele, cele reale vin imediat în completarea celor naturale, întregi și raționale, așa că saltul este inexplicabil. Însă demonstrația riguroasă e clară.

Cantor s-a gîndit dacă nu ar putea face această prăpastie mai mică, să o umple cu alte mulțimi infinite, care să facă trecerea mai lentă între infinitatea numerelor naturale și cea a numerelor reale. Problema s-a numit ipoteza continuului și l-a dus pe matematician la pierderea rațiunii și, în final, a vieții. Răspunsul a venit cu mult după moartea sa, în 1963, cînd ipoteza continuului s-a dovedit independentă de sistemul axiomatic pe care îl folosește teoria mulțimilor. Uneltele teoriei în care a fost formulată nu pot nici să o confirme, nici să o contrazică.

Opera matematică a lui Cantor a avut și o latură spirituală, iar Amir Aczel arată în cartea The Mystery of the Aleph că printre rîndurile teoriei mulțimilor poți să găsești idei și precepte din Kabbala. Însăși notația folosită de matematician arată legături teologice: infinitatea numerelor naturale primește nu o literă grecească, cum era mai obișnuit, ci prima literă din alfabetul ebraic, alef (א‎). Mai mult, Cantor alcătuiește un șir de numere alef, care au devenit sinonime cu infinitul (căci notează numărul de elemente din diverse mulțimi infinite cu א‎₀, א_‎1, א_‎2 ș.a.m.d.) — dar într-o versiune ierarhizată și concretă, nu a infinitului înțeles ca limită, atinsă idealizat, în analiză.

Religia i-a pus piedici serioase în cercetările matematice, căci, în majoritatea culturilor lumii, infinitul este echivalent cu divinitatea. Ierarhia demonstrată concret și strictă a mai multor tipuri de infinit era echivalentă cu un fel de politeism, pe care Cantor, crescut într-o familie de evrei și cu așteptări de preoție nu avea cum să o accepte.

Cartea lui Aczel este, simultan, o biografie a lui Cantor, o geneză a ideilor de teoria mulțimilor, dar și, mai general, o prezentare accesibilă a rezultatelor paradoxale privitoare la infinit din mai multe ramuri și perioade ale matematicii. Pe alocuri speculativă și aproape mistică, ea nu este nici un tratat de istoria matematicii, nici, cu atît mai puțin, un manual de teoria mulțimilor. Însă reușește să traseze legături surprinzătoare între matematică, istorie, filosofie și religie iudaică, aproape ca într-un Sefirot.

Mulțumesc pentru lectură! Postările de pe Gradient vor fi mereu disponibile gratuit. Dacă ai aflat ceva util sau ți-a plăcut ce ai citit, poți susține publicația printr-o distribuire, un abonament sau o contribuție singulară.